خطاهای دانش‌آموزان در همنهشتی مثلث‌ها- قسمت ۱۷

۵ Rigor
سطح یک- تشخیص یا دیداری
به‌طور کلی اشکال هندسی تنها به وسیله‌ی شکلشان و نه به وسیله‌ی ویژگی‌هایشان شناخته می‌شوند. آن‌ها در برخورد با اشکال هندسی به نمونه‌های بصری رجوع می‌کنند. مثلا می‌گویند یک مستطیل شبیه یک در است یا یک دایره شبیه یک توپ است. به علت عدم توجه به خواص اشکال، یک مربعی که به اندازه ۴۵ درجه دوران یافته دیگر از دید آنها یک مربع نیست بلکه یک لوزی است. زیرا اشکال با توجه به ظاهرشان در سطح یک ون‌هیلی دسته بندی می شوند. این سطح در شماره‌گذاری اولیه توسط ون‌هیل ابتدا به صورت سطح صفر و با نام پایه مطرح شد اما بعدا به علت اهمیت این سطح شماره ی آن به یک تغییر کرد تا روی اهمیت سطح دیداری تاکید شود (ون هیل، ۱۹۸۶ ؛ به نقل از هندسکومب، ۲۰۰۵).
نتیجه‌ی تفکر در این سطح، کلاس ها یا گروه‌هایی از شکل‌ها هستند که شبیه هم می‌باشند.
سطح دو- تجزیه و تحلیل
در این سطح دانش‌آموزان ویژگی‌های هر شکل را تشخیص می‌دهند و می‌دانند که هر شکل دارای مجموعه‌ای از ویژگی‌ها است، اما آن‌ها نمی‌توانند ارتباط بین ویژگی‌ها را دریابند. وقتی شکلی را توصیف می‌کنند، ممکن است تمام ویژگیهای آن شکل را لیست کنند، اما ویژگیهایی را که برای توصیف، ضروری و لازم هستند را نمی‌دانند(میسون، ۱۹۹۸). دانش‌آموز می‌تواند اشکال را با توجه به اجزا و روابط بین آن‌ها تحلیل کند، ویژگی‌های یک طبقه از اشکال را به طور تجربی معین کند، و ویژگیها را برای حل مسائل استفاده کند. دانش‌آموزان شکل‌های هندسی را از خصوصیاتشان توصیف می‌کنند، نه از روی ظاهرشان( شورای ملی معلمان ریاضی، ۱۹۹۵). به طور مثال مربع، چهار زاویهی قائمه و چهار ضلع برابر دارد.
نتیجه ی تفکر در این سطح، خواص شکل ها هستند.
سطح سه- استنتاج غیر رسمی یا مرتب سازی
دانشآموز ارتباط بین ویژگیها و اشکال را درک میکند. در این سطح دانشآموز میتواند تعریف با معنی و همچنین استدلالهای رسمی برای توجیه استدلال خود به کار ببرد(میسون، ۱۹۹۸). به گفته‌ی ون‌هیل(۱۹۸۶)، دانش‌آموزان در این سطح می‌توانند دلایل خود را به روش استقرایی مدیریت کنند و اثباتهایی را توسط خودشان انجام دهند.
آن‌ها نه‌تنها قادر به تشخیص ویژگی‌های درونی هر شکل هستند بلکه خواهند توانست روابط بین این ویژگی‌ها را در اشکال متفاوت شناسایی کنند. دانشآموزان با درک این روابط شروع به بحث‌های استنتاجیِ غیر رسمی می‌کنند، اما نقش استنتاج را درک نمی‌کنند و دلایل تجربی را با دلایل استنتاجی ترکیب می‌کنند(برگر^۱ و شائوگنسی^۲، ۱۹۸۶). در این سطح دانشآموزان می‌توانند یک خاصیت را از دیگری نتیجه بگیرند.
یادگیرنده‌ها در این سطح، مستعد تفکر “اگر- آن‌گاه” (ولی نه اثبات رسمی)، هستند. به همین دلیل، این سطح را می توان سطح ارتباط‌ها نیز، نامید زیرا در این سطح است که شخص باید بتواند ارتباط مجرد بین شکل ها را درک کند. برای مثال، یک لوزی، یک چهارضلعی با چهارضلع مساوی، و یک مستطیل، یک چهارضلعی با چهار زاویه ی قائمه است. دانش آموزی که در این سطح فکر می کند، می تواند تحلیل کند که پس یک مربع، هم یک لوزی و هم یک مستطیل است.
نتیجه تفکر در این سطح، درک ارتباطات بین خواص اشیای هندسی است.
سطح چهار- استنتاج رسمی
دانشآموز میتواند اثبات کند، نقش تعاریف، قضیهها و معنی لازم و کافی را میداند(میسون^۳، ۱۹۹۸). در این سطح استنتاج معنی‌دار می‌شود. دانشآموز اهمیت استنتاج و نقش فرضها، اصول موضوعه، قضایا و اثبات‌ها را درک می‌کند(هافر^۴، ۱۹۸۱). همچنین آنها باید قادر باشند در حالی که یادگیریِ طوطیوار و از روی عادت را به حداقل رساندهاند، برای هر مرحله از اثبات خود دلایلی ارائه دهند. به عنوان مثال اگر از دانشآموزی سؤال شود که یک شکل هندسی، مثل مستطیل را با حداقل اطلاعاتِ ممکن توصیف کند، او در پاسخ خواهد گفت که مستطیل، متوازی‌الاضلاعی است که یک زاویه‌ی قائمه دارد(پگ^۵، ۱۹۹۵). دلایل دانشآموزان به‌طور رسمی در یک چارچوب سیستم ریاضی، اصطلاحات تعریف نشده، اصول موضوعه، قضایا، سیستمهای منطقی و تعاریف قرار می‌گیرد(برگر و شائوگنسی، ۱۹۸۶).
در این سطح، دانش آموز می تواند به فهم و درکی قابل اتکا و با ثبات از آنچه که قضایای ریاضی و تعریف نشده ها هستند، برسد و توانایی نوشتن یک اثبات را پیدا کند. موضوعات تفکر در این سطح، ارتباطات بین خواص اشیای هندسی و نتیجه ی چنین تفکری، ایجاد توانایی فهم و درک نظام های اصل موضوعی استنتاجی برای هندسه است.
۱ Burger
۲ Shaughnessy
۳ Mason
۴ Hoffer
۵ pegg
سطح پنج- دقت
دانش‌آموزان در این سطح جنبههای رسمی اثبات، مثل مقایسه و ایجاد سیستمهای ریاضی را درک میکنند. در این سطح، دانشآموز اهمیتِ اثبات غیرمستقیم و اثبات مستقیم را میفهمد و میتواند هندسهی نااقلیدسی را درک کند(میسون، ۱۹۹۸). آنها قادرهستند قضیهها را در سیستم‌های اصول موضوعه‌ی متفاوت به طور دقیق مشخص کنند. دانشآموزان قادرند سیستم‌های قیاسی و استقرایی، مانند استخراج قضایا در سیستمهای مختلف اصول موضوعه را تحلیل کنند. هندسهی نا‌اقلیدسی می‌تواند مورد مطالعه قرار بگیرد و با سیستمهای دیگر مقایسه شود(میبری، ۱۹۸۳). به عنوان مثال دانشآموز می‌داند که مکان هندسی نقاطی که از یک نقطهی ثابت به یک اندازه‌اند، در هندسهی اقلیدسی یک دایره است در صورتی که همین نقاط در هندسهی تاکسی یک مربع هستند(کراوس^۱، ۱۹۸۶).
به گفته کرولی، آخرین سطح یعنی دقت، کم‌ترین توسعه را در کارهای اصلی ون هیلی داشته است و از طرف محققان دیگر نیز، کم‌تر مورد توجه واقع شده است. به طوری که پی‌یر‌ماری ون‌هیلی ابراز کرده بود که خود، به ویژه به سه سطح نخست علاقه مند بوده است، زیرا بخش عمده‌ی هندسه‌ی دبیرستانی در سطوح ۳ یا ۴، آموزش داده می‌شود. در نتیجه، نباید تعجب براتگیز باشد که چرا بیش‌تر محققان، روی سطوح پایین‌تر تمرکز کرده‌اند.
۲-۵-۲ ویژگی های مدل ون‌هیلی
مارگارت میسون (۱۹۹۵)، ویژگی‌های زیر را برای مدل ون‌هیلی برشمرده است.
دنباله‌ای بودن^۲
مثل هر نظریه‌ی توسعه‌ای – تحولی یادگیری، در مدل ون‌هیلی نیز، یادگیرنده باید در داخل سطوح، به ترتیب حرکت کند. یعنی یک دانش‌آموز نمی‌تواند در سطح n ون‌هیلی باشد بدون اینکه n-1 سطح قبلی را طی کرده باشد (تامپسون، ۲۰۰۶).
۱ Krause
۲ Sequential
نظراتی مخالف با این ویژگی نیز وجود دارد زیرا بعضی از دانش‌آموزان با استعداد در ریاضی به نظر می‌رسد که در بین سطوح پرش دارند آن‌هم شاید به این دلیل است که آن‌ها مهارت‌های استدلال منطقی را از راه‌هایی دیگر به غیر از هندسه کسب می‌کنند (میسون، ۱۹۹۵؛ به نقل ازتامپسون ۲۰۰۶).
به‌هر‌صورت، برای عملکرد موفق در یک سطح، یادگیرنده باید استراتژی‌های مورد نیاز را در سطوح قبلی یادگرفته باشد.
عدم وابستگی به سن
سطوح تفکر هندسی ون هیلی، وابسته به سن نیستند و در عوض، بستگی به تجربیاتی دارند که دانش‌آموزان کسب کرده‌اند. به عبارت دیگر، فرایند توسعه از یک مرحله به مرحله‌ی دیگر، بیش تر از آن که به سن وابسته باشد، به آموزش و روش‌های آموزشی وابسته است. نکته‌ی مهم این است که تجربیات هندسی، عامل مؤثری برای پیشرفت در این سطوح است.
مجاورت^۱
ون‌هیلی‌ها تاکید می‌کنند که این سطوح، به وسیله‌ی تفاوت در موضوع تفکر، از یکدیگر تمییز داده می‌شوند، و موضوع های ذاتی در یک سطح، موضوعات مورد مطالعه در سطوح بعدی می‌شوند. برای مثال، در سطح ۱، فقط شکل ظاهری درک می‌شود. در حالی که یک شکل، به وسیله‌ی خواص خود تعیین می‌گردد که این مطلب، تا سطح ۲ که یک شکل به وسیله‌ی اجزا و مولفه‌هایش تجزیه و تحلیل می‌شود و خواص آن کشف می‌گردد، به‌دست نمی‌آید.
افتراق^۲
هر سطح نشانه‌های زبانی مخصوص به خود را دارد و یک شبکه ارتباطی آن نشانه‌ها رابه هم متصل می‌کند (یوسسکین، ۱۹۸۲ ). بعضی بر این ویژگی اشکال گرفته‌اند. آن‌ها معتقد هستند که نمی‌توان مرز خاصی بین این